标准索洛模型

索洛增长模型百度百科

增长理论是建立在超长期，在古典模型中已经说明了均衡的产出水平不变固定在一个位置，而超长期就是解释在更长的时间中，这个长期的均衡产出水平如何增高。由于生产要素( $L,K$ )和 $A$ 确定经济总收入，收入差别必然产生于资本劳动，技术的区别。

产出与消费

分几步建立模型，首先假设 $L和A$ 是不变的，这里只考虑产品供需如何决定资本积累。产出 $Y=F(K,L)$ ,索洛模型假设生产函数具有不变规模特征， $zY=F(zk,zL)$ ，令 $z=1/L$ ,可到人均产出 $y=f(k)$ ,其中 $k$ 是人均资本。

规模报酬递减

产品需求(消费)：忽略政府购买(可将其视作消费和投资)，假设封闭经济，人均产出只能划分为人均消费和储蓄 $y=c+i$ ,设储蓄率为 $s$ ， $c=(1-s)y$ ,整理的 $i=sy$ ，表面投资等于储蓄。

结合生产和消费，描述了任一定资本存量 $k$ ， $y=f(k)$ 决定了产出，储蓄率 $s$ 决定产出在消费和投资家的配置。

资本存量的增长与稳态

投资作为流量，流入资本存量的蓄水池中，而折旧使蓄水池中的水排出，两股力量共同决定了存量稳态。

储蓄率决定产出在消费和投资配置

对于折旧，假定为固定水平，如果资本平均使用20年，那么折旧率/年为5%

不变比率，直线

通过图形展示，如果投资曲线大于折旧线，那么存量增加向右趋近，反之向左趋近。

储蓄的作用

储蓄率是稳态位置的关键因素，储蓄率与稳态资本存量和产出正相关，由于政府财政扩张将减少国民储蓄并挤出投资，虽然可以短期拉动需求，但减少储蓄率长期后果是较低的资本存量和收入，这是财政赤字受到批评的原因。

储蓄率提高意味对任一资本存量的投资增加，与折旧线相交于y和k都更大的位置

显然储蓄提高使稳态资本和产出水平更高，但是稳态时增长率不变，因此没有增长效应(稳态人均收入增长率提高)，只有水平效应(只是人均收入水平提高)

资本的黄金律水平：

显然如果100%储蓄，将会有最大资本存量和收入，但我们目的显然不是使储蓄本身大，而是让储蓄劳动资本存量和产出增长使得可供消费的产出更大，所以使消费最大化的稳定状态 $k$ 称为资本的黄金律水平， $k_{gold}^*$ 。

由于稳态时资本存量不变，投资等于折旧 $\sigma k$ ，代入消费表达式 $c^*=f(k^*)-i$ $=f(k^*)-\delta k^*$ ,该方程表面稳态资本增加对消费有两个相反的效应，更多资本意味着更多产出，而也意味着更多损耗。

在任何稳定状态，投资等于折旧(所以黄金律这不用储蓄线来分析啦！)稳态消费即为生产线和折旧线之间差值，通过图形分析，可以看出存在消费最大化点，而这里切线与折旧线平行！

当 $k^*$ ，两条曲线的距离随 $k^*$ 上升而上升，而在右侧，随其上升而下降，所以黄金点是最大的。 $MPK=\delta$ 边际产量等于折旧率为黄金条件！

而如何趋向黄金率水平呢？它不会老实自己主动趋向黄金稳态，如果储蓄率过高过低都将得到一个过高过低的稳态资本存量，消费没有最大化，所以需要一个特定的储蓄率 $s_{gold}$ 使得在 $k^*_{gold}$ 达到稳态，即 $s_{gold}f(k^*_{gold})=\delta k^*_{gold}$

要记住是先找黄金k，在推出对应储蓄率！

向黄金律状态的过渡：

资本过多到黄金水平：

储蓄率一下降引起消费立即增加和投资等量减少，之后，当资本存量减少时，产出、消费和投资同时缓慢减少，但消费水平始终高于初始稳态。

资本过少开始：

储蓄率提高引起消费立刻减少和投资等量增加，之后随资本存量增加，两者均缓慢增加，达到黄金稳态后，消费水平比初始高。

考虑人口增长：

对于 $k=K/L$ ， $dk/dt=(1/L)(dK/dt)-(K/L^2)(dL/dt)$ （求导法则），带入 $dK/dt=I-\delta K$ ， $(dL/dt)/L=n$ ,得出 $\Delta k =i -(\delta+n)k$ = $sf(k)-(\delta+n)k$ ,相比不考虑人口增长时负效应增加了人口增长率*资本存量，由于这里人口指的是劳动力，表面人口增长通过把资本存量更分散分配给更多工人而减少 $k$ 。